多様体の話に出てくる極限集合

いわゆる志賀多様体を読んでいた時の話。この文章に出てくる用語はあまり一般的なものではないので注意してください。

まずは極限集合の定義を見て欲しいです。いわゆる志賀多様体にもある定義です。

定義

多様体 $M$ の中の点列 ${x_n}$ が「集積点を持たないとき」 $x_n\to \infty$ とかく。このとき多様体の間の写像 $f:M\to N$ について $f$ の極限集合を

$L(f)=\{y\mid \exists\{x_n\} s.t.\ x_n\rightarrow \infty\ f(x_n)\to y\}$

と定義する。

わざわざ「」で囲んだのだが、この「集積点を持たない」という文言が問題で、点列に対して「集積点」というと、二通りの解釈が出来ます。

一つ目の解釈は、「点列として」の集積点・・・(1)

二つ目は「集合として」の集積点・・・(2)

この二つに解釈することが出来ます。結果から言うと先の定義の中の「集積点」は「点列としての集積点」ということだったのですがその理由を解説していきます。

まずは(1)を厳密に定義しましょう。

定義

点 $a$ が点列 ${x_n}$ の「点列としても集積点」であるとは $a$ に収束する ${x_n}$ の部分列が存在することを言う。

さてこの定義の下で、(1)と(2)には明確な違いが出てきます。例えば $x_n=(-1)^n$ と定義すると、この点列を集合として見ると孤立点しかない（というか二点集合になる）ので「集合としての集積点」を持ちません。しかし、偶数だけの番号を取ればその部分列は $1$ に収束するし、奇数版だけ取れば、その部分列は $-1$ に収束します。つまりこの点列は $1$ と $-1$ が「点列としての集積点」となります。