閉集合の上の距離が空間全体に拡張できるとかいうやつ。
ティーチェの拡張定理の一般化の一つとして距離空間の閉集合から局所凸空間への写像が拡張できるというDugundjiの拡張定理というのがあります。これを応用してハウスドルフの拡張定理を証明することが出来ます。ハウスドルフの拡張定理は距離付け可能空間の閉集合に距離が与えられたときにその距離を空間全体に拡張で切ることを主張する定理です。もちろんここでいう距離とは位相とちゃんと両立するやつです。
この定理を用いると完備距離しか受容しない距離付け可能空間はコンパクトであることが証明できます。これ以外にも応用の幅の広い定理だと思うんで、皆さん頑張ってください。
[17-11-18追記]
いろいろひどかったので修正いたしました。
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