複素平面、リーマン球面、単位開円盤の正則同型を決定する話です。
メモ書きとしてサーっと書いたので細かい部分がサーっとしてるかもしれません。例えばメビウス変換の定義とか。重大な間違いはないと思います。
これらの空間の正則同型が完全に求められるのは正則関数の非常に強い剛性があるからです。
話は変わりますが、
複素関数論において、例えば上で定義された関数
は
の近傍で有界ならばリーマンの拡張定理を用いて拡張し、
のとき
となるなら
を極とする正則関数とみなし、
上の二つに当てはまらないならばで真性特異点をもつと考えるので、
結局はなんだかんだ
上の正則関数と考えるのです。
そういう感じでpdfの中でもふわっと整関数を断りなくリーマン球面まで拡張してますがびっくりしないでください。
pdfはこちら↓
