ルベーグの被覆補題を距離空間と位相群の場合に証明してこの２つが似た者同士であることを感じ取れると思います。実は距離空間と位相群を内包する一様空間という概念が有ってルベーグの被覆補題は一様空間の定理なのです。しかし面倒なので一様空間の定義だとかは全くしません。興味があれば参考文献を読んで頂ければ良いと思います。
ついでにルベーグの被覆補題を用いて台がコンパクトな実連続関数が一様連続であることも示しています。
[2015/12/04に追記]
深い理由は無いですが。選択公理の使用を避けるような証明に修正した版も貼り付けます。二番目のpdfです。最初の版は残しておきます。
[2020/01/30]
一般のコンパクトハウスドルフ空間に対するルベーグの被覆補題の証明を載せました．3番目のpdfです．
↓選択公理使わない版
