連結ハウスドルフ可算空間、つまり、台集合が可算集合で、連結で、ハウスドルフな空間に関する。文献をまとめてみました。
[始まり]
以下が僕が可能な限り知りえた連結ハウスドルフ可算集合を構成したり、もしくはそれに関連する文献です。〇が付いているのは、普通にご家庭のインターネットで見れるやつです。〇が付いてないのは見れるか見れないのかよくわからないやつです。
最後にちょっとしたコメントがあります。
〇[Bing] R.H.Bing, A connected countable Hausdorff spce, Proc. Amer. Math. Soc.4(1943), p474
〇[BoRi] Boyles and G.X.Ritter, A connected locally connected countable space which is almost regular, Colloq.Math.46(1982), p189-195
〇[Bro] M.Brown, A countable connected Hausdorff space, Bull. Amer. Math.Soc.59(1953), p367
[Gol] S.W.Golomb, A connected topology for the integers, Amer. Math. Monthly 66(1959), p663-665
〇[Gu] W.Gustin, Countable connected spaces, Bull.Amer.Math.Soc.53(1946), p101-106
[Hew] E.Hewitt, On two problems of Urysohn, Ann. of Math.47(2)(1946), p503-509
〇[JoSt] F.B.Jones and A.H.Stone, Countable locally connected Urysohn spaces, Colloq.Math.22(1971), p239-244
〇[Kann] V.Kannan, A countable connected Urysohn space containing a dispersion point, Proc.Amer.Math.Soc.35(1)(1972), p289-290
[Kir] A.M.Kirch, A countable, connected, locally connected Hausdorff space, Amer.Math.Monthly 76(1969), p169-171
[Ma1] J.Martin, A countable Hausdorff space with a dispersion point, Duke.Math.J.33(1966), p165-167
〇[Ma2] J.Martin, Homogeneous countable connected Hausdorff spaces, Proc.Amer.Math.Soc.12(2)(1961), p308-314
〇[Mil] G.G.Miller. countable connected spaces, Proc.Amer. Math. Soc.26 (1970), p355-360
〇[MilPe] G.Miller and B.J.Pearson, On the connectification of a space by a countable point set, J. Australian Math. Soc.13(1)(1972), p67-70
[Ori] R.G.Ori and M.Rajagopalan, On countable connected locally connected almost regular Urysohn spaces, Gen.Top.Appli.17(1984), p157-171
[Roy] P.Roy, A countable connected Urysohn space with a dispersion point, Duke.Math.J.33(1966), p331-333
[Rit] G.X.Ritter, A connected, locally connected, countable Urysohn space, Gen.Top.Appli.7(1977), p65-70
[Ury] P.Urysohn,Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Math. Ann.94(1925), p262-295
〇[Vou] E.J.Vought, A countable connected Urysohn space with a dispersion point that is regular almost everywhere, Colloq.Math.28(1973), p205-209
全部を読んだわけでもないし、読んだとしても詳細に読んだわけではないが、ささやかながらコメントを書く。
連結ハウスドルフ可算空間は、ドイツ語が読めなくて読んでないが[Ury]によって初めて構成されたらしい。
ウリゾーンは世に言われるウリゾーンの補題を用いて、第二可算公理を充たす連結コンパクトハウスドルフ空間（つまり連続体）の濃度がちょうど連続体濃度であることを示した。（というかこの結果があるから連続体濃度と呼ばれるのでは？）（後にウリゾーンの手により、コンパクトハウスドルフを正規性に置き換えたより一般的な定理が得られている。）
その結果の延長で連結空間は如何なる濃度を持ち得るか、という問題を考え、連結ハウスドルフ可算空間を発見したようだ。
連結可算空間は正則空間ではあり得ないことに注意せよ。なぜならば可算空間はリンデレフ空間となり、正則リンデレフ空間は正規空間となる。そして二点以上を含む正規（T1）空間はそれこそウリゾーンの補題から連続体以上の濃度を持たなければならない。
このリストの中で一番簡単な構成は[Bing]だと思う。手短に連結ハウスドルフ可算空間の存在を実感したいのであれば、これを読むと良い。これはまた、いわゆる1ページ論文でもある。
[Bro]と[Gol]による構成も鮮やかで、整数の上に件の条件を満たす位相を構成している。連立合同方程式に関する知識があればその構成はよく理解できると思う。
[Kir]は彼らの構成をもう一歩推し進めて局所連結性をも充たす連結ハウスドルフ位相を整数の上に構成している。
位相空間がUrysohn空間であるとは、異なる二点に対し各々の交わらないような閉近傍が存在することを言う。
[Hew]ではウリゾーンが構成したものより条件を強めて連結なUrysohn空間でかつその上の実連続関数が常に定数となるような可算空間を構成している。
[終わり]
