電波通信

I'm on the Top. of the world.

不動点定理

ブラウワーの不動点定理の証明の一つを紹介する。

ユークリッド空間の閉球から自分自身への連続写像不動点を持ち、この定理をブラウワーの不動点定理と呼び、まあなんかいろいろ便利です。

例えばユークリッド空間の位相的な次元がその線形次元の次元と一致することを証明する際にこの不動点定理を用いますし、領域不変性定理の証明でも使えるみたいです。

 

この定理にはいろんな証明がありますが、球面のホモロジーを計算してそこから導く方法が一般的なようです。他にはサードの定理と境界付き一次元多様体が単位区間と同相であることを組み合わせたりする方法などいろいろあるようですが、ここでは解析の基本事項、逆写像定理や積分の変数変換公式くらいしか使わない初等的な証明を紹介します。

 

どの証明方法でも、微分積分、もしくは閉球の組み合わせ的性質を持つことを利用しており、また不動点定理をつかってユークリッド空間の次元を計算したり領域不変定理などのユークリッド空間の重要な性質が導かれるあたり、ジェネトポだけで証明しようにも越えられない壁があり、微分構造や組み合わせ構造に踏み込まないと証明できないような気がします。(気がする。)