閉写像によるコンパクト性の特徴付け
10/10に某工大祭へ行ってきました。
10/10は某工業大学のなにやら文化祭でそこへお出かけしていました。
冬くんとオフする約束をしていたのですが、なんだかんだでそこら辺の椅子で冬くんの数学の話を聞くことになりました。
冬くんが話してくれたのは射影が閉写像であることを用いたコンパクト性の証明でした。あとそれを用いたチコノフの定理の証明でした。なんやかんやで僕がその証明方法にちょっかいを出しておそらく分かりやすい証明が得られたのでここで紹介します。
証明の肝となる部分は冬(fuyu_atsusugi)くんに負うものです。
10/10の９時頃に公開するPDFは前半部分しか完成してません。未完成です。β版です。タイトルにチコノフの定理とあるのにチコノフの定理が本文に無いのはそのためです。しかし前半部分だけでも急いで公開する価値があると思ったので先行して公開します。後半ができたらちゃんとお知らせします。
(10/11に追加)
後半も完成しました。また、前半の証明も背理法を使わずすっきり書いてみました(背理法が嫌いなわけではないです。)
証明のアイデアは単純で、ユークリッド平面の中の直交双曲線はユークリッド平面の閉集合ですがこれの第一軸への射影が直線から原点を引き抜いた開集合になることが原型です。
証明に則ってグラフを書いてみるとよりわかりやすいと思います。
前に載せた未完成版も取り敢えずそのまま置いておきます。
（追記２）チコノフの定理の証明が間違ってることが判明しました。後日記事を修正します。
(追記10/12)
チコノフの定理の証明が修正できないのでpdfから削ります。
悪しからず。