始位相の話
始位相という物があります。何もない集合から位相空間への写像の族があった時にその写像の族すべてを連続にするような位相（定義域に定義される）のことですが、逆位相とか弱位相とか呼ばれることもあるようです。
さてこの始位相ですが、ある意味での埋め込み定理が成り立つのですが(pdfの定理2)それが森田先生の位相空間論で述べられており、それを用いてウリゾーンの距離化可能定理を証明しているのをみて位相空間論を積極的に勉強しようと思ったのでした。
それまでウリゾーンの距離化可能定理と言うのは単位区間へのよく分からない写像の族を作ってへんてこな操作をして距離を得るという方法しか知らず未知のブラックボックスのように思っていましたが、先の方法を知るとその単位区間への写像の族というのが実はその族から得られる始位相がもともと入ってた位相とコンパチブルするようなもので写像の族に施すへんてこな操作というのが可算個の距離空間の直積空間で距離を構成する方法だと分かったのです。
そんなことで面白いのでいろいろ性質を紹介するのですが、今回はめんどくさくて肝心のウリゾーンの距離化可能定理は載せてません。ウリゾーンの補題も必要ですし。
その代わりと言ってはなんですが、簡単にわかることとして第二可算公理を充たすT0空間の濃度が連続体を超えないと言う定理を載っけてます。
キーワード:始位相 Initial topology シェルピンスキー空間 Sierpinski 逆位相 弱位相
