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電波通信

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単位閉区間が可算個の非空なる閉集合族の直和で描けないこと

表題の通りです。

ジェネトポでContinuum、つまり連続体と言ったら連結コンパクトハウスドルフ空間のことですが、連続体について、連続体は可算個の非空な閉集合族の直和で書けないというシェルピンスキーの定理がありますが、
ここではその特殊な場合、単位閉区間について、このことを証明します。
証明をよく見ると単位閉区間のコンパクト性を実は使ってないので、実数の区間について同じことが成り立つことが見て取れます。
また、この事の系として、T1な可算空間は弧状連結になりえないことを紹介しています。面倒なので証明は省きましたが、簡単に示せると思います。
これに対して連結ハウスドルフ可算空間が存在します。
ちなみに可算空間とは空間の濃度が可算濃度の空間のことを言っています。
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