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電波通信

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フィルターとコンパクト性

フィルターを用いたコンパクト性の特徴付けです。

 距離空間に於いて点列という位相の担い手がいたように一般の空間にもフィルターと言う位相の担い手がいます。アナロジカルにはネット(ムーア・スミス列)なども定義してフィルターとの関係を見たり写像の連続性の基準を述べたほうが良いのかもしれませんが、面倒なのでコンパクト性との関係に絞ってみました。

一番最後に短いチコノフの定理の証明が載っけてあります。

コンパクト集合といえば、ユークリッド空間の有界閉集合が典型的で、距離空間なので点列コンパクト性とコンパクト性が同値ですが、例えば単位区間のN個の直積*1が点列コンパクトであることを言うために、N次元単位区間内の点列を任意に取り、各成分に射影をして射影した先でハイネ・ボレルの定理を用いると言うことを順次切り返して、収束する部分列を得るわけですが*2、フィルターを用いたコンパクト性の特徴付けにより、この証明法のアナロジーがチコノフの定理に対して適用できます。そういう意味でチコノフの定理は自然なものになります。

[16-06-12修正]

PDFはこちら

*1:N次元単位区間などといいますが

*2:Nが有限というのが効いている。実際には可算個の直積でも対角線論法を使えば同様の証明が出来る